Antiderivadas

Um físico que conhece a velocidade de uma partícula pode desejar saber sua posição em um dado instante. Um engenheiro que pode medir a taxa de variação segundo a qual a água está escoando de um tanque quer saber a quantidade escoada durante um certo período de tempo. Um biólogo que conhece a taxa segundo a qual uma população de bactérias está crescendo pode querer deduzir qual o tamanho da população em certo momento do futuro. Em cada caso, o problema é encontrar uma função F cuja derivada é uma função conhecida f. Se a função F existir, ela é chamada uma antiderivada de f.

Definição   Uma função F é chamada um antiderivada de f sobre um intervalo I se F’(x)=f(x) para todo x em I

Por exemplo, encontre uma antiderivada de f(x) = x2. Lembrando a regra da potência, se F(x) = 1/3  x3 , então F’(x) = x2 = f(x). Mas a função G(x) = 1/3  x3 +100  também satisfaz G’(x) = x2 = f(x). Conseqüentemente, ambas F e G são antiderivadas de f. Na verdade, qualquer função da forma H(x) = 1/3  x3 + C, onde C é uma constante, é uma antiderivada de f.

Teorema   Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F(x) + C

onde C é uma constante arbitrária.

Exemplo 1   Encontre uma antiderivada mais geral de cada uma das seguintes funções:

a)      

b)      

c)        ,   n<>1

Exemplo 2   Encontre todas as funções de g tal que:

Nas aplicações de cálculo é muito comum situações como este exemplo, onde é requerido achar uma função sendo fornecidos dados sobre suas derivadas. uma equação que envolva as derivadas de uma função é chamada de equação diferencial. A solução geral de uma equação diferencial envolve uma constante arbitrária, contudo, podem ser dadas condições extras que irão determinar as constantes e assim especificar univocamente a solução.

Exemplo 3   Encontre f se   e 

Exemplo 4   Encontre f se ,     e  

Movimento Retilíneo

Antidiferenciação é particularmente útil na análise do movimento de um objeto que se move em uma reta. Lembre-se que a função posição s(t) = f(t), então a função velocidade v(t) = s’(t). Da mesma maneira, a função aceleração é a(t) = v’(t). Se a aceleração e os valores iniciais s(0) e v(0) são conhecidos, então a função posição pode ser encontrada antidiferenciando-se duas vezes.

Exemplo 5   Uma partícula move-se em uma reta e tem aceleração dada por a(t) = 6t + 4. Sua velocidade inicial é v(0) = -6 cm/s, e seu deslocamento inicial é s(0) = 9 cm. Encontre sua função posição s(t).

Exemplo 6   Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 48 pés/s da margem de um penhasco 432 pés acima do solo. Encontre sua altura acima do solo t segundos mais tarde. Quando ela atinge sua altura máxima? Quando atinge o solo?

Exercícios

a)       Encontre a antiderivada mais geral da função

b)       Encontre a antiderivada F de f que satisfaça a condição dada: ,  

c)       Encontre f se

d)       Encontre f se ,  ,  

e)       Encontre f se ,  ,   ,  

f)        Uma pedra é deixada cair do posto de observação de uma torre, 450 pés acima do solo. Determine quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? Com que velocidade ela atinge o solo?