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Use a Regra de L’Hôpital onde for apropriado e encontre os limites.
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O Método de Newton.
O Método Newton-Raphson encontra uma raiz, x, da equação f(x)=0, onde f(x) é uma função contínua numa vizinhança da raiz procurada. A geometria por trás do Método está mostrada nas figuras abaixo, onde tentamos encontrar uma raiz. Começamos com uma primeira aproximação x1, que é obtida por conjectura, ou de um esboço do gráfico de f, ou de um gráfico de f gerado no computador. Considere a reta tangente L à curva y=f(x) no ponto (x1, f(x1)). Olhando o intercepto x de L, vamos denominá-lo x2. A idéia por trás do Método de Newton é que a reta tangente fica próxima da curva; assim o intercepto x, x2, está próximo do intercepto x da curva, isto é, a raiz que estamos procurando. A fórmula para x2 em termos de x1 é:
onde n=1. Se ficarmos repetindo esse processo para n=2,3,4,... obteremos uma seqüência de aproximações x2, x3, x4, x5, ... Se os números xn ficam cada vez mais próximos da raiz à medida que n cresce, dizemos que a seqüência converge para a raiz.
Interpretação gráfica:
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Vamos encontrar
uma raiz da função: |
a raiz procurada é x = 2,82 (precisão de duas casas decimais).
Exercícios
Encontre pelo menos uma raiz das funções abaixo, com precisão de duas casas decimais e valor inicial adotado como o centro do intervalo dado (note as respostas entre parênteses):
a) 
no intervalo x Î [0; 1] ( x=0,370558 )
b) 
no intervalo x Î [1; 2] ( x=1,51213 )
c) 
no intervalo x Î [2; 3] ( x=2,50618 )
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com valor inicial x1 = 2,1